Brièvement

Le problème de Monty Hall

Le problème de Monty Hall

Dans un concours télévisé célèbre, le participant doit choisir une porte entre trois (toutes fermées) et son prix est de retirer ce qui se trouve derrière la porte choisie. On sait que l'un d'eux cache une voiture et qu'après les deux autres il y a des chèvres. Une fois que le candidat a choisi une porte et fait part de son choix, Monty, le présentateur, ouvre l'une des autres portes et montre que derrière elle il y a une chèvre. À ce moment, le candidat a la possibilité de changer de porte s'il le souhaite.

Le candidat doit-il conserver son choix d'origine ou choisir l'autre porte?

Solution

Le participant doit modifier son choix initial pour augmenter les chances de prendre la voiture.

Voyons pourquoi. La probabilité que le concurrent choisisse la porte que la voiture cache à sa première occasion est 1/3, donc la probabilité de perdre, c'est-à-dire que la voiture se trouve dans l'une des portes qu'il n'a pas choisie, est de 2/3.

Qu'est-ce qui change quand le présentateur montre une chèvre derrière l'une des deux autres portes? Si le joueur a choisi dans sa première option la porte qui contient la voiture (avec une probabilité de 1/3), alors le présentateur peut ouvrir l'une des deux portes sans prix. Dans ce cas, le joueur perd la voiture si elle change lorsque l'occasion se présente.

Mais, si le joueur choisit une chèvre dans sa première option (avec une probabilité de 2/3), le présentateur n'a qu'une seule option pour ouvrir une porte qui contient la chèvre. Dans ce cas, la porte que le présentateur n'a pas ouverte, doit contenir la voiture, donc la changer gagne.

En résumé, si vous gardez votre choix d'origine, vous gagnez si vous avez initialement choisi la voiture (avec une probabilité de 1/3), tandis que si vous changez, vous gagnez si vous avez choisi à l'origine l'une des deux chèvres (avec une probabilité de 2/3). Par conséquent, le candidat doit toujours changer son choix.

Une hypothèse erronée est qu'une fois qu'il ne reste que deux portes, elles ont toutes deux la même probabilité (50%) de contenir la voiture. C'est faux puisque le présentateur ouvre la porte après le choix du joueur. Autrement dit, le choix du joueur affecte la porte que le présentateur ouvre comme nous venons de le voir.

Une façon plus claire de le voir est de repenser le problème. Si au lieu de n'avoir que trois portes, il y en avait 100, et après les élections initiales, le présentateur a ouvert 98 des autres pour montrer que derrière elles, il n'y a que des chèvres. Si le concurrent ne modifiait pas son choix, il ne gagnerait la voiture que s'il l'avait initialement choisie (1 fois sur 100), tandis que s'il la changeait, il gagnerait s'il ne l'avait pas choisie à l'origine (et c'est donc ce qui reste après l'ouverture des 98 portes) ), 99 fois sur 100!

Vous pouvez trouver plus d'informations sur ce problème sur Wikipedia